穩定性與晃動問題分析

穩定性與晃動問題分析概述

穩定性指系統在受到擾動後，能否維持或恢復至平衡狀態，而晃動問題通常指系統出現振盪、發散或不穩定行為，常見於數值計算、控制系統或動態系統中。

穩定性分析主要方法

• 馮諾依曼穩定性分析（傅立葉穩定性分析）：用於驗證有限差分法求解線性偏微分方程（如熱傳導方程）的數值穩定性。透過傅立葉分解誤差，若誤差隨時間步增長則不穩定（如FTCS方案），公式為 ( e^{a\Delta t} = 1 + \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (e^{ik_m \Delta x} + e^{-ik_m \Delta x} - 2) )，需滿足放大因子絕對值 ≤1。
• 穩定性理論（李亞普諾夫方法）：分析微分方程或動態系統軌跡在小擾動下的行為。線性化後，若雅可比矩陣特徵值絕對值 <1 則穩定，>1 則不穩定；使用勞斯-赫爾維茨判據檢查特徵根實部是否全負。
• 控制系統時域分析：評估系統穩定性、穩態誤差與快速性。穩定定義為受擾動後返回平衡；透過特徵方程根或勞斯判據判斷，穩態誤差用終值定理計算。
• 平衡點穩定性：在微分方程中，檢查 ( \frac{dy}{dx} ) 符號判斷吸引子（穩定）或排斥子（不穩定），如人口模型中 ( \hat{N}=0 ) 不穩定，( \hat{N}=100 ) 穩定。

晃動問題成因與解決

晃動常因不穩定數值方案或系統參數引起：

• 數值計算中：誤差傅立葉分量放大導致發散（如FTCS不穩定），解決為使用隱式方案或調整 ( \Delta t / \Delta x^2 ) 比值。
• 控制系統中：增益穿越頻率下相位或增益裕度不足，導致振盪；檢查閉環極點位置或穩定裕度（gain/phase margin），裕度越小越易晃動。
• 其他領域：邊坡工程用STABL程式找最小安全係數滑動面避免崩塌晃動；作物穩定性用變方分析或排序變異評估。

這些方法互補，數值問題強調誤差控制，工程系統注重裕度與特徵根。